INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sistema de Coordenadas Cartesianas

Método para definir la posición de un punto por medio de su distancia perpendicular a dos o más líneas de referencia. En geometría plana, dos líneas rectas, llamadas eje x y eje y, forman la base de un sistema de coordenadas Cartesianas en dos dimensiones.

El eje x es horizontal y el eje y es perpendicular a él. Al punto de intersección de los dos ejes se le llama origen (O). Cualquier punto en este plano se puede identificar por un par ordenado de números que representan las distancias a los dos ejes.

Por ejemplo, el punto (4, 2) es el punto que se encuentra alejado 4 unidades del eje y en la dirección positiva del eje x y a 2 unidades del eje x en la dirección positiva del eje y.

DISTANCIA

La distancia es una magnitud que mide la relación de lejanía o cercanía entre dos cuerpos, objetos o individuos. Para la geometría euclidiana, la distancia entre dos puntos es la longitud del camino más corto entre ambos. Es decir, la medición del grado de cercanía que existe entre los dos.

La medición de la distancia, por ejemplo, es útil para determinar cuestiones tan diversas como el tiempo y velocidad que requerirá la misma para ser cubierta a pie o en un vehículo, el tipo de comunicación que puede establecerse entre ambos puntos, o la diferencia de escenarios que ambos puntos sostienen entre sí.

Para la geometría y la matemática la distancia es un concepto más o menos abstracto que se encuentra presente en diversas operaciones aritméticas. Por ejemplo, la operación de distancia de un punto a un conjunto, o entre dos conjuntos.

Para la geografía, en cambio, la medición de la distancia responde a propósitos de distinción de terreno y condiciones climáticas y naturales. A su vez, la distancia también tiene que ver con diferencias sociológicas y culturales. Una pequeña distancia entre dos puntos geográficos puede observar, sin embargo, una gran separación en cuestiones morales, sociales, culturales y religiosas.

Esa es también la distancia aparente o la distancia social. Más allá de su cálculo exacto, existe el concepto de distancia como propia de la percepción subjetiva. Por ejemplo, dos enamorados pueden encontrarse a una gran distancia física y, no obstante, sentirse cercanos el uno del otro. Al mismo tiempo, se suele decir que si bien en las grandes ciudades existe una cercanía física entre los ciudadanos, la lejanía emocional se encuentra presente en las relaciones cotidianas.

Otro aspecto relevante de la distancia es la percepción que un sujeto puede tener en un momento dado respecto de una cercanía o lejanía física. Dependiendo del estado de ánimo de un individuo, por ejemplo, éste puede sentir que recorre una larga distancia en poco tiempo, es decir, que ésta se acorta. O bien, a la inversa.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

En matemática, la distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento de curva.

Para encontrar este valor recurrirenos a la siguiene ecuación:

Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo   CALCULAR LA DISTANCIA


COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos. Estas coordenadas vienen dada por:

Ejemplo Hallar las coordenadas del punto medio del segmento A(3,9)  B(-1,5)

 

                   M(1,7)

PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN
La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas. Se denota con la letra m.
Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

La ecuación presentada se emplea cuando se conocen las coordenadas de dos puntos, sin embargo, tambien se puede obtener conociendo el ángulo de inclinación

                 

O cuando se conoce la ecuación de una recta

Ejemplo: La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:

La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.
                                    Es este caso la recta es vertical.

PROBLEMAS PARA PRACTICAR

PROBLEMAS PROPUESTOS

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

1.- Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:

a) (7, 6), (-3, 9), (0, 4)

b) (-5, -5), (-8, 2), (-11,-5)

c) (4, -7), (10,-2), (-2,-1)

2.- Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de sus vértices son isósceles:

a) A (11,-3), B (8, 4), C (5,-3)

b) D (-3, 2), E (-3, 12), F(-9, 7)

c) G (-3,-3), H (-15,-3), I (-9,-9)

3.- Demostrar que los triángulos dados por las coordenadas de sus vértices son rectángulos.

a) A (12, 2), B (10, 10), C (7, 5)

b) D (-3, 7), E (-3, 12), F(-9, 7)

c) G (-3,-3), H (-15,-3), I (-3,-9)

4.- Demostrar que los puntos y son los vértices de un triángulo escaleno:

a) A (12, 2), B (4, 3), C (9, 1)

b) D (-6, 2), E (-7, 8), F(-9, 3)

c) G (-7, -8), H (-7,-5), I (-11,-3)

5.- Demostrar que los puntos dados están sobre una misma línea recta (son colineales).

a) A (8,-5), B (6,-2), C (4, 1)

b) D (12, 8), E (6, 8), F(3, 8)

c) G (-13, 2), H (-12, 6), I (-11, 10)

ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA.

1.- Hallar la pendiente m y el ángulo de inclinación de las rectas determinadas por los pares de puntos siguientes.

1) A (5, 4) y B (10, 8)

2) C (-9, -5) y D (-3, 2)

3) E (5,-7) y F (12,-7)

2.- Demostrar que los siguientes puntos son colineales:

a) A (-1,-1), B (4, 4), C (7, 7)

b) D (4,-4), E (10,-8), F(13,-10)

c) G (-10,-8), H (-8,-8), I (-4,-8)