GUÍA DE ESTUDIO AUTÓNOMO # 2
I. DATOS GENERALES.
1. Asignatura: Matemática XI Módulo XI
2. Profesor: Samuel A. Castillo R.
3. Área: Trigonometría.
4. Tema: Solución de triángulos oblicuángulos
5. Fecha de ejecución:
6. Valor:
7. Bibliografía: Trigonometría Fredd Spark. Trigonometría. Earl Swokowski
Límite I. Vicen Vives
II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Resolver triángulos oblicuángulos.
III. ACTIVIDADES Y ASIGNACIONES
1. Leer reflexivamente el material de apoyo sobre los temas detallados a continuación:
Trigonometría
Solución de triángulos oblicuángulos
Ley del seno
Ley del coseno
2. Resolver las prácticas propuestas.
3. Estudiar el material sistemáticamente para realizar una prueba parcial.
IV. CONTENIDO
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
Para resolver un triángulo cualquiera es necesario conocer tres elementos siendo por lo menos uno de ellos un lado. Es decir que se nos puede presentar las siguientes opciones:
- Caso a: dos ángulos y un lado.
- Caso b: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
- Cado c: dos lados y el Angulo comprendido entre ellos.
- Cado d: tres lados.
Para calcular un elemento desconocido de un triángulo, es necesaria una fórmula que comprenda los tres elementos conocidos y el desconocido.
A. LEY DEL SENO
Consideremos un triángulo de ángulos A, B, Y C, y tres lados opuestos a, b, y c respectivamente.
"En un triángulo cualquiera, las razones obtenidas al dividir cada lado entre el seno del ángulo opuesto, son iguales"
Se aplicará cuando se conozca:
- caso a: dos ángulos y un lado
- caso b: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
B) LEY DEL COSENO
Consideremos un triángulo de ángulos A, B, Y C, y tres lados opuestos a, b, y c respectivamente.
"El cuadrado de un lado cualquiera de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos"
Se aplicará cuando:
- caso c: dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
- Caso d: tres lados.
PROBLEMAS RESUELTOS.
Ejemplo # 1: que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.
Se conocen 2 ángulos y un lado por lo tanto se aplica la ley del seno.
Al conocer dos(2) ángulos como la suma de los ángulos internos es 180º tenemos:
A + B + C = 180º
A = 30º
Ejemplo # 2: Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m
Se conocen 2 lados (a y b) y un ángulo opuesto a uno de los lados. Por lo tanto se aplica la ley del seno.
Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.
EJEMPLO # 3. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
Se tiene 2 lados y el ángulo opuesto, por lo tanto emplearemos la ley del seno.
Por lo tanto se tiene dos soluciones
Primera solución:
Segunda solución:
EJEMPLO # 4. Resolver el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.
PRÁCTICA # 2
RESUELVA LOS TRIÁNGULOS
1) a = 10 b = 12 C = 35º 40’
2) a = 7 b= 6 c = 4
3) A = 52º30’ B = 78º12’ c = 300.5
4) b = 25 c= 15 A = 45º
5) a = 17.44 b = 12 C = 36º 35’
6) a = 13 A = 20º B = 60º
7) a = 31.88 c = 35º B = 30º 47’
8) b = 23.86 A = 53º C = 96º
9) a = 124 b = 162 c = 200
10) b = 7 c= 4 C = 25º
11) a = 10.98 c = 11.36 A = 72º 19’
12) b = 8.25 b=7.63 = 88º
13) a = 632.7 b = 82.46 C = 83º 23’
14) a = 30.52 b=24.37 c = 56º 13’
15) a = 624 c = 532 B = 122º
16) a = 3.141 b= 2.163 B = 122º
17) a = 50 c = 110 C = 150º’
18) a = 0.3214 b= 0.6217 C=43º 12’
19) b = 0.9813 c = 1.021 C = 78º 19’
20) a = 60 c= 30 B = 40º
C. Problemas de aplicación.
1. Los puntos B y C quedan en lados opuestos de un pantano. El punto A, accesible a B y a C queda en una orilla se mide AB, AC y el ángulo BAC, obteniéndose: AB = 2000 metros, AC = 3000 metros, y el ángulo BAC = 30º. Calcular la distancia de B a C.
2. Una escalera de 6.1 metros de longitud, esta recostada sobre un muro inclinado, de manera que alcanza una altura de 5 metros sobre dicho muro. Si la parte inferior de la escalera está a 2.5 metros de la base del muro, cual es la inclinación de éste. Respuesta. 103.79º
3. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 64º, un poste telefónico que esta inclinado 9º respecto a la vertical, hacia el sol, produce una sombra de 21 pies de longitud. Determine la longitud del poste. Respuesta33 pie.
4. Un pueblo queda a un kilómetro al este de una carretera que va de norte a sur y se comunica con ella por medio de dos caminos cuyos rumbos, a partir del pueblo; son S 34º 40’ O y N 28º 50’ O. Un vendedor que va por la carretera en dirección norte decide pasar por el pueblo dejando la carretera y tomando por el primer camino y retornando a ella por el segundo camino. Calcúlese aproximadamente el exceso de camino recorrido por haber pasado por el pueblo.
5. Un porte vertical situado en una pendiente que forma un ángulo de 7º con la horizontal, proyecta hacia abajo de la pendiente una sombra de 36.3m de longitud. Si el ángulo de elevación del sol es de 26º, calcular la longitud del poste. Respuesta… 13.1
6. Se desea instalar el tendido eléctrico en un área rural; por lo cual se quiere conocer la longitud del cable eléctrico entre los dos postes.
