jueves, 29 de enero de 2015

TRIGONOMETRÍA




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INTRODUCCIÓN
En esta edad tecnológica, las matemáticas son más importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus clases, es cada vez más probable que usen las matemáticas en su trabajo y en la vida diaria: para operar equipos de computación, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar las finanzas personales y ejecutar otras tareas para resolver problemas. Todo lo que aprendan en matemáticas y la manera en que adquieran ese conocimiento les proporcionará una preparación excelente para un futuro exigente y en constante cambio.

¿Que es la trigonometría?
Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

La palabra trigonometría procede de tres vocablos tri: que significa tres; gonia: significa vértice, y metron medida. Es decir trigonometría es medida de triángulos. Se le ha definido también como la ciencia de la medida indirecta.



Por medio de la trigonometría pueden ser calculadas distancias que no se pueden medir directamente. Tal cálculo se realiza mediante seis razones que se denominan funciones trigonométricas.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.



Hiparco de Nicea

Fundador de la trigonometría, autor del primer catálogo de estrellas, que incluía la posición de 1026 aparte de proponer una clasificación de dichos objetos en diversas clases de acuerdo con su brillo. Sus teorías sobre la Luna y el Sol fueron reasumidas, tal cual, por Tolomeo. Determinó la distancia y tamaño tanto del Sol como de la Luna. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios. Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.


Tolomeo (c. 100-c. 170)
Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus él Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.


El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 - h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo.

La trigonometría desarrollada por árabes

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.

Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.

“Tratado del cuadrilátero” de Nasir al - Din al - Tusi (1201 - 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao.. . Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.


La trigonometría en Occidente

El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.

Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 - 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. . Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.

La trigonometría en los tiempos modernos

En el siglo. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.

También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

Isaac newton
El más grande de los matemáticos ingleses. Su libro "Principia Mathemáthica" basta para asegurarle un lugar sobresaliente en la Historia de las matemáticas. Descubrió simultáneamente con Leibnitz el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. En Algebra le debemos el desarrollo del binomio que lleva su nombre. Según Leibnitz "Si se considera la matemática creada desde el principio del mundo hasta la época en que Newton vivió. Lo que él realizó fue la mejor mitad".

Leonhard Euler
Fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos.
Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.

Hoy en día la trigonometría tiene diversas aplicaciones en diversas ramas del conocimiento, aunque no es mas familiar ver su funcionalidad en la ingenieria y arquitentura.


miércoles, 28 de enero de 2015

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS # 2

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

La aplicación de la trigonometría a la solución de triángulos rectángulos, se iniciara con los cálculos de los elementos del triángulo.(lados y ángulos).

Para realizar un trabajo uniforme, emplearemos la siguiente notación: el lado recto del triángulo lo representaremos con la letra C (mayúscula) y el lado frente a este(hipotenusa) con la c (minúscula); los otros dos ángulos con las letras A y B; el cateto frente a cada ángulo se denominara con la letra minúscula correspondiente al ángulo.



Ejemplo1: en un triángulo rectángulo A = 36º a=1200 metros, resolver el triángulo.
Resolver consiste en hallar el valor de los lados y de los ángulos del triángulo.






Respecto al ángulo A, buscamos una relación entre un valor conocido (a) y el desconocido(c); esta relación es sen A.

                   Sen A      = opuesto/hipotenusa
                   Sen 36º   = 1200/c  
                   c sen 36º =1200
                              c  = 1200/sen 36º
                               c = 2041,56194metros.

El lado "b" puede encontrarse empleando el teorema de Pitágoras, pero se recomienda utilizar los datos iniciales del problema así que, relacionaremos el lado "b" que buscamos y el lado "a" que es conocido de esta manera tenemos:


La relación respecto al ángulo A es la tangente  
     Tan A = opuesto/adyacente
     Tan A = 1200 / b
b tan 36º= 1200
           b = 1200/ tan 36º
           b = 1651.6583


Para los ángulos sabemos que A + B + C = 180º  como se conoce que C = 90º, y A = 36º
sólo hay que despejar B = 180º - A - C
                                B = 180º - 36º - 90º
                                B = 54º
Con lo que hemos encontrado todos los elementos del triángulo.

http://www.practicastrigonometria.blogspot.com/




sábado, 24 de enero de 2015

APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Para iniciar con los problemas de aplicación es necesario revisar el concepto de ángulo de elevación y depresión, y la forma en que determinaremos el rumbo.

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
El ángulo que se forma entre la línea visual y la horizontal es el ángulo de elevación, o el de depresión.


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

DIRECCIÓN
Se puede presentar de diversas formas, aqui trataremos el sistema cuadrantal y el sistema circular.

Rumbo (SISTEMA CUADRANTAL)
En el sistema cuadrantal de medición de rumbos, los valo¬res son siempre inferiores a 90º ya que el sistema resulta de dividir la circunferencia en cuatro partes con valores iguales o inferiores a 90º. Se miden de 0º a 90º y se cuentan siempre desde el Norte o el Sur hacia el Este o el Oeste.
- Se indican primero diciendo el punto cardinal (Norte o Sur) desde donde se cuentan.
- Después el número de grados.
- Y por último, el punto cardinal Este u Oeste hacia donde está el objeto.
Como se observa en la figura, los rumbos se miden desde el Norte (línea N) o desde el Sur (línea S), en el sentido de las manecillas del reloj si la línea a la que se le desea conocer el rumbo se encuentra sobre el cuadrante NE o el SO; o en el sentido contrario si corresponde al cuadrante NO o al SE.
Como el ángulo que se mide en los rumbos es menor que 90° debe especificarse a qué cuadrante corresponde cada rumbo. Por ejemplo, las líneas mostradas tienen los siguientes rumbos:
A :  N 30° E     B:  S 30° E     C:  S 60° O      D: N 45° O
Como se puede observar, en la notación del rumbo se escribe primero la componente N o S del cuadrante, seguida de la amplitud del ángulo y por último la componente E o W.


Azimut (SISTEMA CIRCULAR)

El azimut (o acimut; ambas grafías son válidas de acuerdo a la RAE) de una línea es el ángulo horizontal medido en el sentido de las manecillas del reloj a partir de un meridiano de referencia. Lo más usual es medir el azimut desde el Norte (sea verdadero, magnético o arbitrario), pero en ocasiones se usa el Sur como referencia.
Los azimutes varían desde 0° hasta 360° y no se requiere indicar el cuadrante que ocupa la línea observada.

Al igual que con los rumbos es necesario conocer primero la ubicación del meridiano Norte – Sur de referencia y luego apuntar la visual hacia el punto final de la línea que se va a medir. Para el caso de la figura mostrada a la izquierda, las mismas líneas para las que se había encontrado el rumbo tienen el siguiente azimut:
A:   30°         B:  150°     C:  240°       D:  315°



PROBLEMAS DE APLICACIÓN


1. El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 3m. Si forma un ángulo 51º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?




  2. Un observador se encuentra en un faro al pie de un acantilado. Esta a 687m sobre el nivel del mar, desde este punto observa un barco con un ángulo depresión de 23º. Se desea saber a que distancia de la base del acantilado se encuentra el barco.
 
 
 
  
PRÁCTICA # 3
1. Hallar la longitud de la sombra de una árbol de 10m de altura cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 15º

2. Calcular la longitud de la sombra de un árbol de 18 m de altura cuando el ángulo que forman los rayos solares con el suelo es de 22º.

3. Una escalera de 8,2 m esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 6m. ¿Que ángulo forma con el suelo?

4. Una escalera de 6,5m de longitud se apoya sobre una pared vertical formando con ella un ángulo de 18º. Cual es la altura que alcanza.

5. Una torre de 40 m de altura proyecta una sombra de 16 m de longitud. ¿Qué sombra proyectará un árbol de 12 m de altura?

6. Para determinar la altura de un poste no hemos alejado 7 m de su base, hemos medido el ángulo que forma la visual al punto mas alto con la horizontal, obteniendo un valor de 40º. ¿Cuánto mide el poste?

7. Para conocer la altura de una torre hemos medido el ángulo que forma la visual al punto mas alto con la horizontal, obteniendo un resultado de 34º. Al acercarnos 15 m hacia la torre, obtenemos un nuevo ángulo de 57º ¿Cuánto mide la altura de la torre?

8. Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el ángulo que forma la visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede 10m y mide el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 25º. ¿Qué altura tiene el árbol?

9. Estando situado a 87m de un olmo, veo su copa bajo un ángulo de 22º. Mi amigo ve el mismo olmo bajo un ángulo de 25º. ¿A que distancia está mi amigo del olmo?

10. Queremos conocer el ancho de un río, para lo cual nos situamos justo en una de las orillas y dirigimos la visual a un poste que se encuentra justo enfrente de nosotros en la otra orilla obteniendo un ángulo de 53º. Al alejarnos de la orilla perpendicularmente un total de 20m y mirar de nuevo el poste el ángulo es ahora de 32º. ¿Cuánto mide el río de ancho?

11. Una antena de radio esta sujeta al suelo mediante dos cables que forman con la antena ángulos de 36º y 48º. Si los puntos de sujeción de los cables al suelo y el pie de la antena se encuentran alineados y a una distancia total de 98m, calcula la altura de la antena.

12. Calcular la altura de una chimenea sabiendo que la visual dirigida al punto mas alto por un observador de 1,80 m de altura, que se encuentra a 48 m de distancia del pie de la chimenea, forma un ángulo de 36,67º con la horizontal.

13. ¿Cuál sería la longitud total de una correa plana que une exteriormente dos poleas de radios 12 y 24cm y cuyos centros se encuentran a 54cm de distancia?

14. Encuentre el ángulo de elevación del sol si un hombre de 1,75 m. de estatura, produce una sombra de 82 cm. de longitud en el suelo.

15. Desde un punto que está a 12m. del suelo, un observador obtiene una medición de 53 grados para el ángulo de depresión de un objeto que se encuentra en el suelo. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo que está directamente bajo el observador?

16. El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ángulo de 48 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 87 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1,3m. del suelo.

17. Un avión vuela a una altitud de 10000metros y pasa directamente sobre un objeto fijo en tierra. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del objeto es 42 grados. Determine la velocidad aproximada del avión.

18. Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ángulo de 60 grados con respecto a la horizontal.

19. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ángulo de 30 grados y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45 grados. Determine la altura del edificio señalado.

20. Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos P y Q de una orilla, se observa un punto R de la orilla opuesta. Si las visuales forman con la dirección de la orilla ángulos de 40 grados y 50 grados, respectivamente, y la distancia entre los puntos P y Q es 30 metros, determine el ancho del río.

21. Un cuadro localizado sobre una pared es tal que su borde inferior está a una distancia de 20 cm. sobre el nivel del ojo de un observador situado a 2 metros de la pared. Si el ángulo que forman las visuales con los bordes inferior y superior, respectivamente, mide 10 grados, ¿cuál es la altura del cuadro?

22. Una escalera de 6m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5m. de la base de la pared. ¿Cuál es el ángulo que la escalera forma con la pared y hasta qué altura de la pared llega la escalera?

23. Las longitudes de las sombras de dos postes verticales son 22m. y 12m. respectivamente. El primer poste es 7,5m. más alto que el segundo. Encuentre el ángulo de elevación del sol y la longitud de cada poste.

24. Un árbol de 12 m. de altura queda a un lado de un arroyo. El ángulo de elevación del árbol, desde un punto situado a 180m. es de 3 grados. Determine si el arroyo queda por encima o por debajo del nivel del señalado punto y calcule la diferencia de nivel.

25. ¿Cuál es la altura de una colina, si su ángulo de elevación, tomado desde su base, es 46 grados, y tomado desde una distancia de 81 m. es de 31 grados?

26. Sobre un arrecife hay un faro cuya altura es de 7,5m. Desde un punto situado en la playa se observa que los ángulos de elevación a la parte superior y a la parte inferior del faro son 47 grados y 45 grados. Calcule la altura del arrecife.

27. Sobre un plano horizontal, un mástil está sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ángulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 27 grados y 48 grados. Si la distancia entra las cuñas es de 50m. ¿cuánto cable se ha gastado?, ¿cuál es la altura a la cual están sujetos los cables?

28. Desde lo alto de una torre de 200m. sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión de dos botes son de 47 grados y 32 grados respectivamente. Determine la distancia que separa a dichos botes.

29. Un topógrafo situado en C, localiza dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si C está a 5000m. de A y a 7500m. de B y el ángulo ACB mide 35 grados. ¿Cuál es el ancho del lago?

30. Dos guardabosques descubren la misma fogata clandestina en dirección N 52º O y N 55º E, de sus posiciones respectivas. El segundo guardabosque estaba a 1,93km. al Oeste del primero. Si el guardabosque más cercano al fuego es el que debe acudir. ¿Cuál de ellos tiene que ir y cuánto tendrá que caminar?

31. Un terreno tiene la forma de un triángulo isósceles. La base está frente a un camino y tiene una longitud de 562m. Calcule la longitud de los lados si estos forman un ángulo de 23 grados.

32. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el Oeste. En cierto punto gira 30 grados Norte respecto del Oeste y viaja 42km. adicionales hasta un punto que dista 63km. del puerto. ¿Qué distancia hay del puerto al punto donde giró el barco?

33. Desde lo alto de una torre de 300m. de altura se observa un avión con un ángulo de elevación de 15 grados y un automóvil en la carretera, en el mismo lado que el avión, con un ángulo de depresión de 30 grados. En ese mismo instante, el conductor del automóvil ve al avión bajo un ángulo de elevación de 65 grados. Si el avión, el auto y el observador se encuentran en un mismo plano vertical: calcule la distancia entre el avión y el automóvil, también calcule la altura a la que vuela el avión en ese instante.

34. Una escalera de mano, cuyo pie está en la calle, forma un ángulo de 30 grados con el suelo, cuando su extremo superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle, y forma un ángulo de 40 grados cuando se apoya en un edificio situado en el otro lado de la calle. Si la longitud de la escalera es de 50 m., ¿cuál es el ancho de calle?

35. Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un triángulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35 grados con el piso, y la distancia, medida sobre el piso, desde el tronco hasta la cúspide caída es de 5 m. halle la altura que tenía el árbol.

36. Un edificio situado a la orilla de un río tiene una altura de 25metros, desde la parte superior “Juan” observa a bañista, situada justamente en la orilla contraria del río, bajo un ángulo de depresión de 35º. En la misma línea y 20 metros más delante de donde esta la bañista el novio de la bañista observa a Juan con un ángulo de elevación de 21º. ¿a cuántos metros de la base del edificio se encuentra el novio, y cuál es el ancho del río?

37. Desde un punto al nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es 57º. Calcular la altura de la torre. R/207,88.

38. Un cable está sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a 40m de la base de la antena. Si el alambre hace un ángulo de 58º,con el suelo, encuentre la longitud del alambre. R/75,48

39. Para medir la altura de una capa de nubes, un estudiante de meteorología dirige la luz de un faro verticalmente hacia arriba desde el suelo. Desde un punto P situado a 1000m del faro, se mide el ángulo de elevación de la imagen de la luz en las nubes, siendo esta de 59º. Hallar la altura de la capa de nubes. R/1 664,28.

40. Calcular el ángulo de elevación al sol, si una persona que mide 165cm de estatura proyecta una sombra de 132cm de largo a nivel del suelo. R/51º

41. Un constructor desea construir una rampa de 8m de largo que se levanta a una altura de 1.65m sobre el nivel del suelo. Encuentre el ángulo de la rampa con la horizontal. R/12º

42. Una banda transportadora de 9 metros de largo puede bajar o subir hidráulicamente para descargar pasajeros de las aeronaves. Encuentre el ángulo que hay que levantar para llegar a una puerta de un avión que está 4 metros arriba de la plataforma que la sostiene. R/26º

43. Una banda transportadora de 9 metros de largo puede bajar o subir hidráulicamente hasta un ángulo de 40º, para descargar pasajeros de las aeronaves. Hallar la altura máxima sobre la plataforma a que la banda transportadora puede llegar. R/5,79.

44. La estructura natural más alta hecha por el hombre, en el mundo, es una torre transmisora de televisión situada en Fargo, Dakota del Norte. Desde una distancia de 1600 metros a nivel del suelo, su ángulo de elevación es de 21º. Determinar su altura en metros. R/614,18.

45. Una escalera que mide 6.6 metros se apoya en un edificio y el ángulo entre ambos es de 22º. Calcular la distancia del pie del edificio hasta donde se apoya la escalera en el suelo. R/2,47.

46. Una escalera que mide 6.6 metros se apoya en un edificio. Si la distancia del pie del edificio a la parte de la escalera que esta en el suelo aumenta 1 metro ¿Aproximadamente cuánto bajara del edificio la parte alta de la escalera? R/0,51.

47. Desde un punto A que está a 8.2 metros sobre el nivel del suelo, el ángulo de elevación a la parte alta de un edificio es de 31º. Encuentre la altura del edificio. R/4,93.

48. Cuando se observa la parte más alta de la torre Eiffel desde una distancia de 66 metros de su base, el ángulo de elevación es 79º. Hallar la altura de la torre. R/339,5m

49. Desde la parte alta de una torre de 120m de altura, el ángulo de depresión de un objeto colocado en el plano horizontal de la base de la torre es de 24º. ¿Qué tan lejos está el objeto del pie de la torre? ¿A qué distancia del observador está el objeto? R/269,52 y 295,03.

50. Una persona hace volar un cometa y sostiene una cuerda 1.2m sobre el nivel del suelo. La cuerda del cometa está tensa y forma un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular la altura del cometa sobre el nivel del suelo, si se sueltan 500m de cuerda. R/434,21.

51. En un faro que está a 58,2 metros sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un pequeño bote es de 11º. ¿Que distancia hay entre el punto de observación y el bote? R/305,02.

52. Un edificio proyecta una sombra de 950m cuando el ángulo de elevación de los rayos solares es de 25º. Hallar la altura del edificio. R/442,99.

53. El ángulo de elevación de un barco a la punta de un faro de 50m de alto, situado en la costa, mide 13º. ¿Qué tan lejos de la costa se encuentra el barco? R/216,57.

54. Calcular la longitud de una escalera que se apoya contra una pared a 10dm de altura, de manera que el ángulo formado por la escalera y el piso horizontal mide 30º. R/20.

55. Un árbol proyecta una sombra de 12m y el ángulo de elevación de la punta de la sombra la punta del árbol es de 52º. Determine la altura del árbol. R/15,36.

56. Determinar la medida de la sombra de un edificio, sabiendo que cuando los rayos del sol forman un ángulo de 60º con dicho edificio y la altura es de 75m. R/43,30.

57. Un avión está volando a una altura de 10 000m. El ángulo de elevación desde un objeto en la tierra hacia el avión mide 30º. ¿Qué tan lejos se encuentra el objeto del avión? R/20 000.

58. Una rampa tiene 400m de longitud. Se eleva a una distancia vertical de 32m. Determine la medida del ángulo de elevación. R/5º.

59. La cuerda de una cometa mide 40m y se encuentra atada a un piso por uno de los extremos formando un ángulo de elevación de 37º. Si la cuerda se mantiene tensa, hallar la altura a que se encuentra la cometa. R/24,07.

60. Una cometa está volando al extremo de una cuerda en línea recta de 200m, la cual sujeta un niño de 1.2m de estatura. La cuerda hace un ángulo de 68º respecto a la horizontal. ¿Qué tan alto se encuentra la cometa del suelo? R/186,64.

61. Una escalera de 30m de longitud, forma un ángulo de 55º con el suelo mientras se inclina contra el muro de un edificio. ¿ A qué altura toca la pared ? R/24,57.

62. Un peñasco está a 150m arriba del nivel del mar. Desde el peñasco el ángulo de depresión de un barco en el mar mide 8º. ¿Qué tan lejos está el barco de la base del peñasco? R/ 1067,31.

63. Un observador situado en la azotea de un edificio observa un objeto en el suelo con un ángulo de depresión de 32º. Si la altura del edifico es de 48m. Encuentre la distancia que hay del objeto a la base del edificio. R/ 76,82.
64. Desde la azotea de un edificio a 10m de altura, una persona observa a un niño. Si el ángulo de depresión del observador es de 25º. Hallar la distancia del niño a la base del edificio. R/ 21,45.

jueves, 22 de enero de 2015

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

La aplicación de la trigonometría a la solución de triángulos rectángulos, se iniciara con los cálculos de los elementos del triángulo.(lados y ángulos). Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos.

Para realizar un trabajo uniforme, emplearemos la siguiente notación: el lado recto del triángulo lo representaremos con la letra C (mayúscula) y el lado frente a este(hipotenusa) con la c (minúscula); los otros dos ángulos con las letras A y B; el cateto frente a cada ángulo se denominara con la letra minúscula correspondiente al ángulo.


Considerando la ubicación del ángulo tendremos que los catetos reciben el nombre de lado opuesto, o lado adyacente(adyacente = contiguo).  Entonces la relación que existe entre los lados y los ángulos del triángulo se presenta en el siguiente esquema:

Las funciones recíprocas la expresión que se presenta es la misma que invertir por ejemplo para la función secante secA = hipotenusa/cateto contiguo(adyacente).


SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
También es necesario conocer el signo que tiene cada una de estas funciones en los diferentes cuadrantes.




Finalmente para proceder a resolver un triángulo rectángulo es necesario conocer el teorema de Pitágoras

Conocidos estos conceptos podemos resolver un triángulo rectángulo. Para ello te presentamos el video siguiente.
Este video esta ubicado en el lado derecho del blog.



martes, 20 de enero de 2015

GUÍA DE ESTUDIO AUTÓNOMO # 2


I. DATOS GENERALES.
1. Asignatura: Matemática XI Módulo XI
2. Profesor: Samuel A. Castillo R.
3. Área: Trigonometría.
4. Tema: Solución de triángulos oblicuángulos
5. Fecha de ejecución:
6. Valor:
7. Bibliografía: Trigonometría Fredd Spark. Trigonometría. Earl Swokowski
Límite I. Vicen Vives

II. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Resolver triángulos oblicuángulos.

III. ACTIVIDADES Y ASIGNACIONES
1. Leer reflexivamente el material de apoyo sobre los temas detallados a continuación:
Trigonometría
 Solución de triángulos oblicuángulos
 Ley del seno
 Ley del coseno

2. Resolver las prácticas propuestas.

3. Estudiar el material sistemáticamente para realizar una prueba parcial.

IV. CONTENIDO
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
Para resolver un triángulo cualquiera es necesario conocer tres elementos siendo por lo menos uno de ellos un lado. Es decir que se nos puede presentar las siguientes opciones:
- Caso a: dos ángulos y un lado.
- Caso b: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
- Cado c: dos lados y el Angulo comprendido entre ellos.
- Cado d: tres lados.
Para calcular un elemento desconocido de un triángulo, es necesaria una fórmula que comprenda los tres elementos conocidos y el desconocido.

A. LEY DEL SENO
Consideremos un triángulo de ángulos A, B, Y C, y tres lados opuestos a, b, y c respectivamente.
"En un triángulo cualquiera, las razones obtenidas al dividir cada lado entre el seno del ángulo opuesto, son iguales"
Se aplicará cuando se conozca:
- caso a: dos ángulos y un lado
- caso b: dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.


B) LEY DEL COSENO
Consideremos un triángulo de ángulos A, B, Y C, y tres lados opuestos a, b, y c respectivamente.
"El cuadrado de un lado cualquiera de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos"
Se aplicará cuando:
- caso c: dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
- Caso d: tres lados.


PROBLEMAS RESUELTOS.

Ejemplo # 1: que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos. 
Se conocen 2 ángulos y un lado por lo tanto se aplica la ley del seno.
Al conocer dos(2) ángulos como la suma de los ángulos internos es 180º tenemos:
A + B + C = 180º
A = 30º



Ejemplo # 2: Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 8 m
Se conocen 2 lados (a y b) y un ángulo opuesto a uno de los lados. Por lo tanto se aplica la ley del seno.

Como el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1, el problema no tiene solución. La figura muestra la imposibilidad de que exista el triángulo planteado.

EJEMPLO # 3. Resuelve el triángulo de datos: A = 30°, a = 3 m y b = 4 m.
Se tiene 2 lados y el ángulo opuesto, por lo tanto emplearemos la ley del seno.

Por lo tanto se tiene dos soluciones
Primera solución: 


Segunda solución: 


EJEMPLO # 4. Resolver el triángulo de datos: a = 15 m, b = 22 m y c = 17 m.

                             







PRÁCTICA # 2
RESUELVA LOS TRIÁNGULOS

1) a = 10    b = 12    C = 35º 40’
2) a = 7   b= 6   c = 4
3) A = 52º30’   B = 78º12’   c = 300.5
4) b = 25  c= 15   A = 45º
5) a = 17.44   b = 12   C = 36º 35’
6) a = 13   A = 20º   B = 60º
7) a = 31.88   c = 35º   B = 30º 47’
8) b = 23.86   A = 53º   C = 96º
9) a = 124   b = 162   c = 200
10) b = 7   c= 4   C = 25º
11) a = 10.98  c = 11.36   A = 72º 19’
12) b = 8.25   b=7.63    = 88º
13) a = 632.7 b = 82.46 C = 83º 23’
14) a = 30.52 b=24.37 c = 56º 13’
15) a = 624 c = 532 B = 122º
16) a = 3.141 b= 2.163 B = 122º
17) a = 50 c = 110 C = 150º’
18) a = 0.3214 b= 0.6217 C=43º 12’
19) b = 0.9813 c = 1.021 C = 78º 19’
20) a = 60 c= 30 B = 40º

C. Problemas de aplicación.

1. Los puntos B y C quedan en lados opuestos de un pantano. El punto A, accesible a B y a C queda en una orilla se mide AB, AC y el ángulo BAC, obteniéndose: AB = 2000 metros, AC = 3000 metros, y el ángulo BAC = 30º. Calcular la distancia de B a C.

2. Una escalera de 6.1 metros de longitud, esta recostada sobre un muro inclinado, de manera que alcanza una altura de 5 metros sobre dicho muro. Si la parte inferior de la escalera está a 2.5 metros de la base del muro, cual es la inclinación de éste. Respuesta. 103.79º

3. Cuando el ángulo de elevación del sol es de 64º, un poste telefónico que esta inclinado 9º respecto a la vertical, hacia el sol, produce una sombra de 21 pies de longitud. Determine la longitud del poste. Respuesta33 pie.

4. Un pueblo queda a un kilómetro al este de una carretera que va de norte a sur y se comunica con ella por medio de dos caminos cuyos rumbos, a partir del pueblo; son S 34º 40’ O y N 28º 50’ O. Un vendedor que va por la carretera en dirección norte decide pasar por el pueblo dejando la carretera y tomando por el primer camino y retornando a ella por el segundo camino. Calcúlese aproximadamente el exceso de camino recorrido por haber pasado por el pueblo.

5. Un porte vertical situado en una pendiente que forma un ángulo de 7º con la horizontal, proyecta hacia abajo de la pendiente una sombra de 36.3m de longitud. Si el ángulo de elevación del sol es de 26º, calcular la longitud del poste. Respuesta… 13.1

6. Se desea instalar el tendido eléctrico en un área rural; por lo cual se quiere conocer la longitud del cable eléctrico entre los dos postes.